Bài toán tính quãng đường ngắn nhất vòng quanh đỉnh núi hình nón khó nhất trong đề thi đại học năm 1997 ở Hàn Quốc (CSAT)


Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí $A$ và dừng ở vị trí $B.$ Biết rằng người ta chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ $A$ đến $B,$ đoạn đường đầu là phần lên dốc từ $A$ và đoạn sau sẽ xuống dốc đến $B.$ Tính quãng đường xuống dốc từ $A$ đến $B.$

*Bài toán tính quãng đường khó nhất trong đề thi đại học năm 1997 ở Hàn Quốc (CSAT)

A. $\dfrac{200}{\sqrt{19}}.$

B. $\dfrac{300}{\sqrt{30}}.$

C. $\dfrac{300}{\sqrt{91}}.$

D. $\dfrac{400}{\sqrt{91}}.$

Giải. Gọi đỉnh nón là $S.$ Cắt mặt xung quanh của hình nón theo đường sinh $SA$ và trải lên một mặt phẳng thu được hình quạt tâm $S,$ bán kính $R=SA=60.$

Chu vi đường tròn đáy của hình nón là $2\pi r=40\pi .$ Do đó góc ở đỉnh của hình quạt là $\dfrac{{40\pi }}{{2\pi R}} \times {360^0} = \dfrac{{40\pi }}{{120\pi }} \times {360^0} = {120^0}.$

Quãng đường ngắn nhất chính là độ dài $AB$ trên hình vẽ và bằng

$AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=\sqrt{{{60}^{2}}+{{50}^{2}}-2.60.50.\left( -\dfrac{1}{2} \right)}=10\sqrt{91}.$

Ta cần xác định đỉnh dốc: Đỉnh dốc sẽ cách đỉnh $S$ của hình nón một đoạn ngắn nhất nên đỉnh dốc chính là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $AB.$

Độ dài đoạn xuống dốc là $x=HB$ theo pitago có:

$\left\{ \begin{gathered} S{H^2} + H{B^2} = S{B^2} \hfill \\ S{H^2} + H{A^2} = S{A^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} S{H^2} + {x^2} = {50^2} \hfill \\ S{H^2} + {(10\sqrt {91} - x)^2} = {60^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {x^2} - {\left( {10\sqrt {91} - x} \right)^2} = {50^2} - {60^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{400}}{{\sqrt {91} }}.$ Chọn đáp án D.

 

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2021 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

  1. PRO X 2021: Luyện thi THPT Quốc Gia 2021 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, Học sinh các khoá trước thi lại đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm. 
  2. PRO XMAX 2021: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc các chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã nắm chắc kiến thức cơ bản và tư duy tốt với nhóm câu hỏi mức độ 8+. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
  3. PRO XPLUS 2021: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2021 Môn Toán gồm 20 đề. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc. 
  4. PRO XMIN 2021: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2021 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

Xem tất cả