Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng cách đưa về biện luận nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

1929 0 Đã đăng 2020-05-23 10:07:15 Kiến thức toán học


Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng cách đưa về biện luận nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

Ví dụ 1: Cho hai hàm số $f(x)=\dfrac{(m-1)x-2m}{x-2}$ và $g(x)={{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}.$ Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại đúng hai điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi

A. $m\in \left( 2;+\infty \right).$

B. $m\in \left( 0;2 \right).$

C. $m\in \left[ 2;+\infty \right).$

D. \[m\in \left( -\infty ;2 \right].\]

Link câu hỏi: https://www.askmath.vn/cau-hoi/cho-hai-ham-so-va-do-thi-cua-hai-ham-so-da-cho-cat-nhau-tai-dung/7e9b7b15-c255-4d06-94e5-88168766de52

Phương trình hoành độ giao điểm: ${{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{(m-1)x-2m}{x-2}=m-\dfrac{x}{x-2}\Leftrightarrow m=h(x)={{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{x}{x-2}(*).$

Xét hàm số $h(x)={{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{x}{x-2}$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)\backslash \{2,3\}.$

Có ${h}'(x)=-\dfrac{1}{x+1}{{2}^{-\ln (x+1)}}\ln 2-\dfrac{{{2}^{x}}\ln 2}{{{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{4}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in D.$

Bảng biến thiên:

Vậy cắt tại đúng hai điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi (*) có đúng hai nghiệm dương. Quan sát bảng biến thiên suy ra $m\le 2.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hai hàm số $y=\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|$ và $y=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020.$ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng

A. $506.$

B. $1011.$

C. $2020.$

D. $1010.$

Link câu hỏi: https://www.askmath.vn/cau-hoi/cho-hai-ham-so-yln-left-dfracx2x-right-va/4d0dd203-e801-4638-a2b3-f118baa04a2c

Phương trình hoành độ giao điểm. $\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020\Leftrightarrow m=g(x)=\dfrac{1}{4}\left[ \ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}+2020 \right].$

Điều kiện. $x\in \mathbb{R}\backslash \{0,2\}.$ Có ${g}'(x)=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{2}{x(x-2)}+\dfrac{3}{{{(x-2)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$

Bảng biến thiên:Cắt nhau tại 1 điểm khi và chỉ khi (*) có đúng 1 nghiệm. Từ bảng biến thiên suy ra $m=505;m=506;m=505+\dfrac{\ln 3}{4}.$ Tổng các số nguyên cần tìm bằng $505+506=1011.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hai hàm số $y=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+\left| 2x \right| \right);y=-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3$ có đồ thị lần lượt là $({{C}_{1}}),({{C}_{2}}).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] trên đoạn \[\left[ -2020;2020 \right]\] để $({{C}_{1}})$ cắt $({{C}_{2}})$ tại 3 điểm phân biệt?

A. \[4040.\] 

B. \[2020.\] 

C. \[2021.\]

D. \[4041.\]

Giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{gathered} \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {m + \left| {2x} \right|} \right) = - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m + \left| {2x} \right| = \dfrac{{ - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = - 2x + \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{1}{{3x + 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow m = g(x) = - 2\left( {x + \left| x \right|} \right) + \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{1}{{3x + 1}}(*). \hfill \\ \end{gathered} $

*Chú ý: $\dfrac{-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}=-2x+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x+1}$ phân tích tương tự phương pháp tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ.

Có ${g}'(x)=-2\left( 1+\dfrac{x}{\left| x \right|} \right)-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0,-1,-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3} \right\}.$

Bảng biến thiên:

Vậy $({{C}_{1}})$ cắt $({{C}_{2}})$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có ba nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow m\ge 0\Rightarrow m\in \left\{ 0,...,2020 \right\}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu $m$ nguyên dương để hai đường cong $({{C}_{1}}):y=\left| 2+\dfrac{2}{x-10} \right|$ và $({{C}_{2}}):y=\sqrt{4x-m}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương?

A. $35.$

B. $37.$

C. $36.$

D. $34.$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\sqrt{4x-m}=\left| 2+\dfrac{2}{x-10} \right|\Leftrightarrow 4x-m={{\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m=g(x)=4x-{{\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)}^{2}}(*).$

Ta cần tìm $m$ để (*) có đúng ba nghiệm dương.

Xét hàm số \[g(x)=4x-{{\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)}^{2}}\] trên $\left( 0;+\infty \right)\backslash \{10\}$ có

${g}'(x)=4-2\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)\left( -\dfrac{2}{{{(x-10)}^{2}}} \right)=0\overset{0<x\ne 0}{\longleftrightarrow}x={{x}_{0}}\approx 9,2291.$

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên suy ra $-\dfrac{81}{25}<m<36,563\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,36 \right\}$ có 36 số nguyên dương thoả mãn. Chọn đáp án C.


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập