Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

14095 0 Đã đăng 2018-10-15 18:58:31 Kiến thức toán học


Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm các ví dụ và phân loại các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao về hạng của ma trận:

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>> Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

>> Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

1. Tìm hạng của ma trận cho trước

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1}\\ 2&{ - 1}&3&1&3\\ 3&2&0&{ - 1}&2\\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right).$

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-2019t+4=0,$ tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z\\ y&z&x\\ z&x&y \end{array}} \right).$

Giải. Theo vi – ét có $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và \[\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z\\ y&z&x\\ z&x&y \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z}&{x + y + z}&{x + y + z}\\ y&z&x\\ z&x&y \end{array}} \right|(d1 + d2 + d3) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ y&z&x\\ z&x&y \end{array}} \right| = 0.\]

Do đó $r(A)\le 2.$ Mặt khác $D_{12}^{12}=xz-{{y}^{2}}\Rightarrow yD_{12}^{12}=xyz-{{y}^{3}}=-4-{{y}^{3}}=-2019y\Rightarrow D_{12}^{12}=-2019\ne 0.$

Vậy $r(A)\ge 2\Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 1}&3&0&1\\ 2&4&1&8\\ 1&7&6&9\\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right)$ bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&3 \end{array}} \right| = 5 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { - 1}&3&0\\ 2&4&1 \end{array}} \right| = - 25 \ne 0;$

Kiểm tra các định thức cấp 4 bao quanh định thức $D_{123}^{123}$ có

$D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 1}&3&0&1\\ 2&4&1&8\\ 1&7&6&9 \end{array}} \right| = 0;D_{1235}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 1}&3&0&1\\ 2&4&1&8\\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$    

Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1}\\ 0&2&1&2&2\\ 0&0&3&3&{ - 3}\\ 0&0&0&4&0\\ 1&3&6&{12}&{ - 2}\\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right).\]

Giải. Có \[D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&2 \end{array}} \right| = 2 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2\\ 0&2&1\\ 0&0&3 \end{array}} \right| = 6 \ne 0;D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3\\ 0&2&1&2\\ 0&0&3&3\\ 0&0&0&4 \end{array}} \right| = 24 \ne 0.\]

Ta xét các định thức cấp 5 bao quanh định thức cấp 4 trên

\[D_{12345}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1}\\ 0&2&1&2&2\\ 0&0&3&3&{ - 3}\\ 0&0&0&4&0\\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \end{array}} \right| = 0;D_{12346}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1}\\ 0&2&1&2&2\\ 0&0&3&3&{ - 3}\\ 0&0&0&4&0\\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right| = 0.\]

Vậy $r(A)=4.$  

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&{ - 1}\\ 2&{m + 4}&{ - 2}&{ - 1}\\ 3&{m + 6}&{ - 3}&{m - 3} \end{array}} \right)$ có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&{ - 1}&3\\ 2&m&1&2\\ 3&1&2&0 \end{array}} \right)$ có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ nhất, với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4&1\\ a&2&3&1\\ 3&{ - 1}&1&0\\ 3&3&7&2 \end{array}} \right).$

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ m&1&2&{ - 1}\\ 3&1&{ - 4}&2 \end{array}} \right).$ Chứng minh rằng với mọi $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_{123}^{234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4\\ 1&2&{ - 1}\\ 1&4&2 \end{array}} \right| = 15 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 3,\forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&2\\ { - 1}&2&3&4\\ { - 1}&9&{10}&m \end{array}} \right).$

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&m&{ - 1}&2\\ 2&{ - 1}&m&5\\ 1&{10}&{ - 6}&1 \end{array}} \right).$

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m&3\\ { - 1}&2&1&4\\ 4&3&2&1\\ { - 3}&4&1&2 \end{array}} \right).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {7 - m}&{ - 12}&6\\ {10}&{ - 19 - m}&{10}\\ {12}&{ - 24}&{13 - m} \end{array}} \right).$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n\\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n}\\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right).$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ { - 1}&1&3&{ - 1}\\ 1&{ - 1}&7&m \end{array}} \right)$ nhỏ nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right).$

Giải.

$\begin{array}{l} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&2&2&2\\ 2&m&2&2\\ 2&2&m&2\\ 2&2&2&m \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 6}&2&2&2\\ {m + 6}&m&2&2\\ {m + 6}&2&m&2\\ {m + 6}&2&2&m \end{array}} \right|({c_4} + {c_3} + {c_2} + {c_1})\\ = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 1&m&2&2\\ 1&2&m&2\\ 1&2&2&m \end{array}} \right| = (m + 6)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2&2\\ 0&{m - 2}&0&0\\ 0&0&{m - 2}&0\\ 0&0&0&{m - 2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} { - d1 + {d_2}}\\ { - {d_1} + {d_3}}\\ { - {d_1} + {d_4}} \end{array} = {(m - 2)^3}(m + 6). \end{array}$

  • Nếu $\det (A)\ne 0\Leftrightarrow m\notin \left\{ 2,-6 \right\}\Rightarrow r(A)=4;$
  • Nếu $m=2\Rightarrow r(A)=1;$
  • Nếu $m=-6\Rightarrow r(A)=3$ (bạn đọc tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1}\\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4}\\ 1&{4 - m}&{m - 1}&{2m - 4} \end{array}} \right)$ có hạng bằng 2.

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ để ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{2 - a}&4&{{a^2}}\\ 1&{1 - a}&2&0\\ 3&{3 - 2a}&{8 - a}&4 \end{array}} \right)$ có hạng bé nhất.

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&m&0&3\\ m&2&1&2\\ 2&1&{ - 2}&2 \end{array}} \right)$ lớn nhất.

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}},n\ge 2$ và ${{A}^{*}}$ là ma trận phụ hợp của $A,$ khi đó ta có:

  • $r(A)=n\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=n;$
  • $r(A)=n-1\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=1;$
  • $r(A)\le n-2\Leftrightarrow r({{A}^{*}})=0.$

Chứng minh xem bài giảng tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận

Ta sử dụng các tính chất về hạng của ma trận sau đây:

  1. $r(A)=r({A}');$
  2. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là hai ma trận cùng cấp;
  3. $r(AB)\le r(A);r(AB)\le r(B)$ với $A,B$ là hai ma trận bất kì sao cho $AB$ tồn tại;
  4. $r(A)+r(B)\le r(AB)+n$ với $A,B$ là hai ma trận vuông cùng cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2}}=E.$ Chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$\begin{array}{l} r(E - A) + r(E + A) \ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\\ r(E - A) + r(E + A) \le r((E - A)(E + A)) + n = r({E^2} - {A^2}) + n = r(O) + n = n \end{array}$

Vậy  $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ có ${{a}_{ij}}=0,\forall i=j;{{a}_{ij}}\in \left\{ 1,2019 \right\},\forall i\ne j.$ Chứng minh rằng $r(A)\ge n-1.$

Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=1,\forall i,j=1,2,..,n$ khi đó $C=A-B={{({{a}_{ij}}-{{b}_{ij}})}_{n\times n}}={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}}$ với \[{{c}_{ij}}=-1,\forall i=j;{{c}_{ij}}\in \left\{ 0,2018 \right\},\forall i\ne j.\]

Do đó $\det (C)-{{(-1)}^{n}}$ chia hết cho 2018, tức $\det (C)\ne 0\Rightarrow r(C)=n.$

Mặt khác $C=A-B\Rightarrow r(C)=r(A-B)\le r(A)+r(-B)=r(A)+1\Rightarrow r(A)\ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ có ${{a}_{ij}}=i+j,\forall i,j=1,2,...,n.$ Tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B={{({{b}_{ij}})}_{n\times n}},{{b}_{ij}}=i,\forall i=1,2,...,n;C={{({{c}_{ij}})}_{n\times n}},{{c}_{ij}}=j,\forall j=1,2,...,n.$

Ta có $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+C\Rightarrow r(A)=r(B+C)\le r(B)+r(C)=2.$

Mặt khác $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&4 \end{array}} \right| = - 1 \ne 0 \Rightarrow r(A) \ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập