[Vted.vn] - Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh

194915 7 Đã đăng 2018-01-13 03:04:20 Kiến thức toán học


Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Trong khoá học PRO X các em đã được tiếp cận cách xác định số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối dựa trên cách suy đồ thị và bảng biến thiên. Ở bài viết này trình bày cho các em công thức tính nhanh:

Nội dung lý thuyết và ví dụ các bài toán trong bài viết này được trình bày tại khoá học PRO XMAX bạn đọc tham khảo thêm tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2020-mon-toan-kh646448377.html

Nhận xét: 

  • Số điểm cực trị của hàm số $\left| f(x) \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ và số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình $f(x)=0.$ Hay cách khác bằng tổngsố điểm cực trị của hàm số $f(x)$.

  • Số điểm cực trị của hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ bằng $2a+1,$ trong đó $a$ là số điểm cực trị dương của hàm số $f(x).$

Đặc biệt với hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$ Khi đó hàm số $y=\left| f(x) \right|$ có $n$ điểm cực trị

  • $n=5\Leftrightarrow {{f}_{cd}}.{{f}_{ct}}<0.$

  • $n=3\Leftrightarrow {{f}_{cd}}.{{f}_{ct}}\ge 0.$

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$có đồ thị của hàm đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ và $f\left( b \right)=1$.

Số giá trị nguyên của $m\in \left[ -5;5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m \right|$ có đúng 5 điểm cực trị là

A. $8$.

B. $10$.

C. $9$.

D. $7$.

Lời giải chi tiết. Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$:

Xét hàm số $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m$.

Ta có ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)f\left( x \right)+4{f}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]$.

Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Rightarrow 2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill {f}'\left( x \right)=0 \\ \hfill f\left( x \right)=-2 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill x=a;\,x=b \\ \hfill x=c\,\,\left( c\,\,\langle \,\,a \right) \\ \end{gathered} \right.$.

Vậy ${h}'\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Rightarrow $$h\left( x \right)$có $3$ điểm cực trị.

Xét $h\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)=-m\,\,\left( * \right)$.

Để $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi PT $\left( * \right)$có $2$ nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt.

Xét hàm số $t\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)$.

Ta có ${t}'\left( x \right)=2.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+4{f}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]$.

Khi đó ${t}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill {f}'\left( x \right)=0 \\ \hfill f\left( x \right)=-2 \\ \end{gathered} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill x=a;\,x=b \\ \hfill x=c\,\,\left( c\,\,\langle \,\,a \right) \\ \end{gathered} \right.$.

Ta có $t\left( c \right)={{f}^{2}}\left( c \right)+4f\left( c \right)={{\left( -2 \right)}^{2}}-8=-4.$ $t\left( b \right)={{f}^{2}}\left( b \right)+4f\left( b \right)=5.$

Ta có bảng biến thiên của $t\left( x \right)$:

Từ YCBT $\Leftrightarrow t\left( x \right)=-m$ có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \left[ \begin{gathered}\hfill -m\ge t\left( a \right)>5 \\ \hfill -4<-m\le 5 \\ \end{gathered} \right. \\ \hfill -5\le m\le 5;\,m\in \mathbb{Z} \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \left[ \begin{gathered}\hfill m\le -t\left( a \right)<-5 \\ \hfill -4<-m\le 5 \\ \end{gathered} \right. \\ \hfill -5\le m\le 5\, \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill -5\le m<4 \\ \hfill m\in \mathbb{Z} \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}.$ Vậy có $9$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C.

Bài tập tự luyện:

Câu 14.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị.

A. $8.$

B. $9.$

C. $3.$

D. $4.$

Câu 15.Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$ có ba điểm cực trị $x=-1;x=0;x=2.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( \left| x+m \right| \right)$ có 7 điểm cực trị.

A. $m<-1.$

B. $m<0.$

C. $-1<m<2.$

D. $m<2.$

Câu 16.Cho hàm số $y={{\left| x \right|}^{3}}-mx+5.$ Gọi $a$ là số điểm cực trị của hàm số đã cho. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $a=0.$

B. $a\le 1.$

C. $1<a\le 3.$

D. $a>3.$

Câu 17.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{\left| x \right|}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}+3m\left| x \right|-5$ có 5 điểm cực trị.

A. $\left( -\infty ;\frac{1}{4} \right)\cup (1;+\infty ).$

B. $\left( -\frac{1}{2};\frac{1}{4} \right)\cup (1;+\infty ).$

C. $(1;+\infty ).$

 

D. $\left( 0;\frac{1}{4} \right)\cup (1;+\infty ).$

Câu 18.Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}-(2m-1){{x}^{2}}+(2-m)x+2.$ Tìm tập hợp giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có năm điểm cực trị.

A. $-\frac{5}{4}<m<2.$

B. $\frac{5}{4}<m<2.$

C. $\frac{1}{2}<m<2.$

D. $-2<m<\frac{5}{4}.$ 

 

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Nemo Point [98535] 20:11 08-07-2020

cho e xin file pdf với ạ

blueaquarius3001@gmail.com ạ

0
VTEDER [10119] 22:22 29-06-2020

bị lỗi k xem đc thầy ạ 

 

0
Cố Lên [54751] 15:25 26-08-2018

phần bài tập này ở trong bài giảng nào vậy ạ?

0