[Vted.vn] - Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt

207969 36 Đã đăng 2017-04-22 01:26:30 Kiến thức toán học


Bài viết này Vted tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt hay gặp

Đồng thời trình bày công thức tổng quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT Quốc Gia 2019 - Môn Toán.

Bài viết này trích lược một số công thức nhanh hay dùng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá COMBO X do Vted phát hành tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2019-mon-toan-danh-cho-teen-2k1-2

>>Xem đề thi Thể tích tứ diện và các trường hợp đặc biệt

>>Xem thêm bài giảng và đề thi vận dụng cao Thể tích đa diện

Công thức tổng quát: Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: \[V=\frac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q},\] trong đó \[\begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}) \\ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}) \\ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}) \\ & Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}} \\ \end{align}\]

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đều cạnh $a,$ ta có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=\dfrac{1}{6}abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có \[V=\frac{\sqrt{2}}{12}.\sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}.\]

Ví dụ 1: Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{30}}{3}.$

B. $\frac{20\sqrt{11}}{3}.$

C. $\sqrt{30}.$

D. $20\sqrt{11}.$ 

Giải. Ta có ${{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{20\sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng  

A. $\frac{\sqrt{31}}{2}.$

B. $\frac{\sqrt{55}}{2}.$

C. $\frac{\sqrt{21}}{2}.$

D. $\frac{\sqrt{33}}{2}.$

Giải. Ta có ${{V}_{AMCD}}=\frac{AM}{AB}{{V}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=\frac{10\sqrt{11}}{3}.$

Tam giác $MCD$ có $CD=8$ và theo công thức đường trung tuyến ta có:

$MC=\sqrt{\frac{2(C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2({{7}^{2}}+{{5}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{21}.$

và $MD=\sqrt{\frac{2(D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2({{5}^{2}}+{{7}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{21}.$

Vậy ${{S}_{MCD}}=4\sqrt{5}.$ Do đó $d(A,(MCD))=\frac{3{{V}_{AMCD}}}{{{S}_{MCD}}}=\frac{10\sqrt{11}}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{55}}{2}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=\alpha ,$ ta có $V=\dfrac{1}{6}abd\sin \alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng

A. $\frac{2}{\sqrt{3}}.$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

C. $\frac{1}{\sqrt{2}}.$

D. $\frac{1}{3}.$

>>Lời giải chi tiết:

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $V=\frac{2{{S}_{S{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}.\sin \left( (S{{A}_{1}}{{A}_{2}}),({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}) \right)}{3{{A}_{1}}{{A}_{2}}}.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,\widehat{BSC}=\alpha ,\widehat{CSA}=\beta ,\widehat{ASA}=\gamma .$

Khi đó $V=\dfrac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -{{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\beta -{{\cos }^{2}}\gamma }.$

>>Xem bài giảng và đề thi tương ứng tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2019-mon-toan-danh-cho-teen-2k1-2

>>Xem thêm: Công thức tổng quát thể tích khối chóp đều

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thi sinh:

  1. PRO X 2019: Luyện thi THPT Quốc Gia 2018 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao 10, 11 và 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, đều có thể theo học khoá này.
  2. PRO XMAX 2019: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X
  3. PRO XPLUS 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán gồm 20 đề 2019 và được tặng kèm 20 đề khoá Luyện đề PRO XPLUS 2018. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình khoá PRO X. 
  4. PRO XMIN 2019: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Lê Hồng Ngọc đã bình luận 10:28 11-06-2019

em cần file pdf ạ lehongngoc1290@gmail.com

em cảm ơn

0
Bé Mầm đã bình luận 22:42 28-05-2019

cho e xin file pdf ạ
huongentrol@gmail.com

0
ThịnhTấn đã bình luận 23:35 07-05-2019

cho em xin pdf ạh 

nguyenhuuthinh1208@gmail.com

 

0
nhìn ? đã bình luận 22:45 07-05-2019

cho em xin bản pdf với ạ.... khanhhuyen.htk@gmail.com

0
Minh Hiển đã bình luận 15:14 02-05-2019

cho e xin file pdf ạ 
conanbiology10@gmail.com

0