Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

1566 0 Đã đăng 2018-10-13 14:06:44 Kiến thức toán học


Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc công thức tính đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số và một số ví dụ minh hoạ có lời giải chi tiết:

 

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>> Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

 

Định lí: Xét hàm số $y=f(x)$ cho bởi $\left\{ \begin{array}{l} x = x(t)\\ y = y(t) \end{array} \right..$

Khi đó: ${y}'(x)=\dfrac{{y}'(t)}{{x}'(t)}$ và ${y}''(x)=\dfrac{{y}''(t){x}'(t)-{x}''(t){y}'(t)}{{{({x}'(t))}^{3}}}.$

Chứng minh. Có ${y}'(x)=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{{y}'(t)}{{x}'(t)}$ và ${y}''(x)=\dfrac{{{d}^{2}}y}{d{{x}^{2}}}=\dfrac{d\left( {y}'(x) \right)}{dx}=\dfrac{\dfrac{d\left( {y}'(x) \right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{\dfrac{d\left( \dfrac{{y}'(t)}{{x}'(t)} \right)}{dt}}{{x}'(t)}=\dfrac{\dfrac{{y}''(t){x}'(t)-{x}''(t){y}'(t)}{{{({x}'(t))}^{2}}}}{{x}'(t)}=\dfrac{{y}''(t){x}'(t)-{x}''(t){y}'(t)}{{{({x}'(t))}^{3}}}.$

Ví dụ 1: Cho $y=f(x)$ với $\left\{ \begin{array}{l} x = 3t + 2{t^3}\\ y = t{e^{{t^2}}} \end{array} \right.,$ tính ${f}'(x),{f}''(x).$

Giải. Có $\left\{ \begin{array}{l} x = 3t + 2{t^3}\\ y = t{e^{{t^2}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x'(t) = 6{t^2} + 3;x''(t) = 12t\\ y'(t) = {e^{{t^2}}} + 2{t^2}{e^{{t^2}}} = (2{t^2} + 1){e^{{t^2}}};y''(t) = 4t{e^{{t^2}}} + 2t(2{t^2} + 1){e^{{t^2}}} = (4{t^3} + 6t){e^{{t^2}}} \end{array} \right..$

Vì vậy ${f}'(x)=\dfrac{{y}'(t)}{{x}'(t)}=\dfrac{(2{{t}^{2}}+1){{e}^{{{t}^{2}}}}}{6{{t}^{2}}+3}=\dfrac{{{e}^{{{t}^{2}}}}}{3}$ và ${f}''(x)=\dfrac{{y}''(t){x}'(t)-{x}''(t){y}'(t)}{{{({x}'(t))}^{3}}}=\dfrac{(4{{t}^{3}}+6t){{e}^{{{t}^{2}}}}(6{{t}^{2}}+3)-12t(2{{t}^{2}}+1){{e}^{{{t}^{2}}}}}{{{(6{{t}^{2}}+3)}^{3}}}=\dfrac{2t{{e}^{{{t}^{2}}}}}{9(2{{t}^{2}}+1)}.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập