Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2020 TP. Hồ Chí Minh kèm lời giải chi tiết


Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2020 TP. Hồ Chí Minh kèm lời giải chi tiết

Câu 4. Cho hàm số $f(x) = \dfrac12 x^2 - mx$ và $g(x) = \dfrac{x - m}{x - 1}$, tham số $m \ne 1$, có đồ thị $(C_1)$, $(C_2)$. Biết rằng tồn tại đúng $2$ số $x_0 \in (2; 3)$ sao cho nếu gọi $d_1$, $d_2$ là tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ $x_0$ thuộc $(C_1)$, $(C_2)$ và $d_1$, $d_2$ cắt nhau tại $A$, còn $d_1$, $d_2$ cắt trục $Ox$ ở $B$, $C$ thì $AB = AC$. Tìm tất cả các giá trị $m$.

Có $AB=AC\Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Leftrightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACD}={{180}^{0}}\Leftrightarrow \tan \widehat{ABC}=-\tan \widehat{ACD}\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=-{g}'({{x}_{0}}).$

Vì vậy

\[\begin{gathered} {x_0} - m = - \dfrac{{m - 1}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} \Leftrightarrow {x_0}{({x_0} - 1)^2} - m{({x_0} - 1)^2} = - m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} - 1} \right) = {x_0}{({x_0} - 1)^2} - 1 \Leftrightarrow m = g({x_0}) = \dfrac{{{x_0}{{({x_0} - 1)}^2} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} - 1}}(*). \hfill \\ \end{gathered} \]

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm ${{x}_{0}}\in (2;3)\Leftrightarrow \dfrac{2+3\sqrt{3}}{2}<m<\dfrac{11}{3}.$

Xem tất cả