Giải đáp học sinh - Biện luận nghiệm của phương trình mũ và loga dạng tích khó

992 0 Đã đăng 2020-02-07 01:47:19 Kiến thức toán học


Giải đáp học sinh - Biện luận nghiệm của phương trình mũ và loga dạng tích khó tương tự đề thi THPT Quốc Gia 2019 như sau:

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\left( m{{e}^{x}}-10x-m \right)\left( \log (mx)-2\log (x+1) \right)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt ?

A. Vô số.

B. $11.$

C. $10.$

D. $5.$

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered}\hfill mx>0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.$.

Khi đó phương trình $\left( * \right)$ tương đương $\left[ \begin{gathered}\hfill m{{e}^{x}}-10x-m=0\begin{matrix} {} & \left( 1 \right) \\\end{matrix} \\ \hfill xm={{\left( x+1 \right)}^{2}}\begin{matrix} {} & {} & \left( 2 \right) \\\end{matrix} \\ \end{gathered} \right.$

(((($m=0$: phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm.

((((($m<0\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill x<0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow x\in \left( -1;0 \right)$. Khi đó:

((((((((((((($\left( 1 \right)$:$m{{e}^{x}}=10x+m$ có nhiều nhất một nghiệm.

((((((((((((($\left( 2 \right)$:$m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}$ có đúng 1 nghiệm $\forall x\in \left( -1;0 \right)$. Thật vậy

Bảng biến thiên hàm số $y=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x},\forall x\in \left( -1;0 \right)$.

Vậy với $m<0$ không thảo mãn yêu cầu bài toán.

(((($m>0\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill x>0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow x\in \in \left( 0;+\infty \right)$. Khi đó:

((((((((((((($\left( 2 \right)$: $m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=x+\dfrac{1}{x}+2\ge 4$. Vậy ta có các trường hợp sau:

Bảng biến thiên hàm số $y=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x},\forall x>0$.

(((($0<m<4$: phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.

(((($m=4$: phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng 1 nghiệm.

(((($m>4$: phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng 2 nghiệm.

Xét phương trình $\left( 1 \right)$:$m{{e}^{x}}=10x+m\Leftrightarrow m=\dfrac{10x}{{{e}^{x}}-1}$.

Hàm số$f\left( x \right)=\dfrac{10x}{{{e}^{x}}-1}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{10{{e}^{x}}\left( 1-x \right)-10}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>0$và $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=10,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$

Do vậy với phương trình $\left( 1 \right)$ ta có:

(((($0<m<4$: phương trình $\left( 1 \right)$ có 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ không thoả.

(((($m=4$: phương trình $1$ có đúng 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ không thoả.

(((($4<m<10$: phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Vậy cuối cùng ta có $4<m<10\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=\left\{ 5;6;7;8;9 \right\}$. Có 5 giá trị nguyên của $m$.

Chọn đáp án D.

Xem thêm các câu hỏi biện luận mũ và logarit khác

https://www.vted.vn/tin-tuc/giai-dap-hoc-sinh-bien-luan-nghiem-cua-phuong-trinh-mu-va-loga-dang-tich-kho-5962.html

https://www.vted.vn/tin-tuc/bien-luan-nghiem-cua-phuong-trinh-chua-mu-va-logarit-5971.html

https://www.vted.vn/tin-tuc/so-giao-diem-cua-do-thi-ham-da-thuc-bac-bon-va-do-thi-ham-so-mu-5967.html

https://www.vted.vn/tin-tuc/cach-xac-dinh-tong-tat-ca-cac-nghiem-cua-hai-phuong-trinh-mu-va-logarit-wRaAJ-4934.html

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Đỗ Cao Trí [31890] 20:51 07-02-2020

Thầy ơi từ 11 tới 15 đâu nhận m được đâu thầy 😶?

1