Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh hay được sử dụng chương Nguyên hàm và tích phân phát hành tại Vted.vn

2173 0 Đã đăng 2019-01-07 02:36:53 Kiến thức toán học


Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh hay được sử dụng chương Nguyên hàm và tích phân phát hành tại Vted.vn

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019

A - TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH TÍCH PHÂN

DẠNG 1: TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN DỰA TRÊN CẬN VÀ PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ

  • Với $y=f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b],$ ta có $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx},$ phép đổi biến $x=a+b-t.$ 

Do đó $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx}=\frac{1}{m+n}\int\limits_{a}^{b}{\left[ mf(x)+nf(a+b-x) \right]dx}.$  

Áp dụng tính chất này cho một lớp các hàm số cụ thể, ta có:

  • $f(x)f(a+b-x)={{c}^{2}}(c>0),$ ta có $\int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{c+f(x)}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{a}^{b}{\frac{1}{c}dx}=\frac{b-a}{2c}.$
  • \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \]
  • \[\int\limits_\alpha ^{\pi - \alpha } {xf(\sin x)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_\alpha ^{\pi - \alpha } {f(\sin x)dx} \]
  • \[\int\limits_\alpha ^{2\pi - \alpha } {xf(\cos x)dx} = \pi \int\limits_\alpha ^{2\pi - \alpha } {f(\cos x)dx} \]
  • Đối với hàm số chẵn, hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn:

    • Với $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn $[-a;a],$ tức $f(-x)=-f(x),$ ta có

    $\int\limits_{-a}^{0}{f(x)dx}=-\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx},\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx}=0.$

    • Với $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên đoạn $[-a;a],$ tức $f(-x)=f(x),$ ta có

    $\left\{ \begin{gathered} \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(x)dx} \hfill \\ \int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} \hfill \\ \int\limits_{ - a}^a {\frac{{f(x)}}{{1 + {b^x}}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(x)dx} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

    • Với $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kì $T,$ liên tục trên $\mathbb{R}$ tức $f(x+T)=f(x),$ ta có $\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{a+T}{f(x)dx},\forall a\in \mathbb{R};\int\limits_{0}^{nT}{f(x)dx}=n\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}.$

DẠNG 2: $\int\limits_{a}^{b}{\max \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}$ và $\int\limits_{a}^{b}{\min \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}.$

  • $\int\limits_{a}^{b}{\max \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}=\int\limits_{a}^{b}{\frac{f(x)+g(x)+\left| f(x)-g(x) \right|}{2}dx};$
  • $\int\limits_{a}^{b}{\min \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}=\int\limits_{a}^{b}{\frac{f(x)+g(x)-\left| f(x)-g(x) \right|}{2}dx}.$

 

B - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ

>>Xem thêm Công thức tính nhanh diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành

>>Xem thêm Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập