Vted.vn - Công thức tính thể tích của 5 khối đa diện đều gồm tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều - biên soạn thầy Đặng Thành Nam

177799 0 Đã đăng 2017-04-09 11:06:13 Kiến thức toán học


Vted.vn - Công thức tính thể tích của 5 khối đa diện đều - biên soạn thầy Đặng Thành Nam

Bài viết này chúng tôi trích lược lại bài giảng tính thể tích của 5 khối đa diện đều gồm: Tứ diện đều, hình lập phương, bát diện đều, hình 12 mặt đều, hình 20 mặt đều từ khoá học PRO X TOÁN 2018 tại Vted, các em tham khảo bài giảng và bài tập đi kèm tại link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

1. Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a,$

Ta có $S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $h=AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Do đó $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

2. Hình lập phương cạnh $a$.

Khối lập phương có thể tích $V=a^3$.

3. Khối bát diện đều $ABCDEF$ cạnh $a$, ta có 

${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $EF=2EO=2\sqrt{B{{E}^{2}}-B{{O}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Do đó $V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.EF=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

4. Khối 12 mặt đều cạnh $a$ 

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh $A$ là $ABEFC,ACGHD,ABJID.$

Khi đó $A.BCD$ là chóp tam giác đều và $OA$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ tại tâm ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Theo định lí hàm số côsin ta có

\[BC=CD=BD=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\cos \left( \dfrac{3\pi }{5} \right)}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a.\]

Do đó $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}a \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a.$

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB,$ ta có hai tam giác vuông $AHB\backsim AMO,$ do đó $\frac{AO}{AB}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow R=AO=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}=\frac{{{a}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}.$

Ta có thể tích khối đa diện 12 mặt đều bằng tổng thể tích của 12 khối chóp ngũ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}.$

Từ đó dễ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}(15+7\sqrt{5})}{4}.$

*Chú ý. Có thể tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đã cho (cũng chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCD$) bằng cách áp dụng công thức \[R=OA=\frac{A{{B}^{2}}}{2\sqrt{A{{B}^{2}}-R_{BCD}^{2}}}.\]

5. Khối đa diện đều 20 mặt đều cạnh $a,$ bằng cách thực hiện tương tự như khối đa diện 12 mặt đều ta có công thức xác định thể tích là $V=\dfrac{5(3+\sqrt{5}){{a}^{3}}}{12}.$

*Chú ý. Khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều chỉ để tham khảo; các em không nên sa đà vào các bài toán loại này.

*Khối 12 mặt đều hoặc 20 mặt đều việc xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hoặc thể tích các em chỉ tham khảo, không nên quan tâm đến các câu hỏi loại này trong đề thi vì nó không phù hợp. 

>>Xem thêm bài viết tổng hợp đầy đủ tất cả các vấn đề của 5 khối đa diện đều tại đây: https://vted.vn/tin-tuc/tong-hop-kien-thuc-can-nho-ve-5-khoi-da-dien-deu-khoi-tu-dien-deu-khoi-lap-phuong-khoi-bat-dien-deu-khoi-12-mat-deu-khoi-20-mat-deu-4476.html

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

  1. PRO X 2020: Luyện thi THPT Quốc Gia 2020 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, Học sinh các khoá trước thi lại đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm. 
  2. PRO XMAX 2020: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã hoàn thành chương trình kì I Toán 12 (tức đã hoàn thành Logarit và Thể tích khối đa diện) có trong Khoá PRO X. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
  3. PRO XPLUS 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán gồm 20 đề 2020. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc. 
  4. PRO XMIN 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

 

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

•Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi

•Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá

•Tài liệu hỗ trợ & bài tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều

•Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại Hà Nội

•Học phí quá rẻ so với những gì các bạn nhận được & liên tục cập nhật các nội dung mới hoàn toàn miễn phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại

Có thể Bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép (đối với những video chúng tôi dạy trong các khóa trước đây) và hành vi lừa đảo Bạn đối với những video Tôi đã để công khai trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy từ chối và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng (Facebook, thông tin cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho chúng tôi để có biện pháp xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí mật cho Bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành.

Nhận xét của học viên về các khoá học tại Vted xem tại link: https://www.facebook.com/media/set/?set=a.1369920146414690.1073741842.100001901544977&type=1&l=db28765616

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập