Vted.vn - Công thức tính thể tích của 5 khối đa diện đều gồm tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều - biên soạn thầy Đặng Thành Nam

140887 0 Đã đăng 2017-04-09 11:06:13 Kiến thức toán học


Vted.vn - Công thức tính thể tích của 5 khối đa diện đều - biên soạn thầy Đặng Thành Nam

Bài viết này chúng tôi trích lược lại bài giảng tính thể tích của 5 khối đa diện đều gồm: Tứ diện đều, hình lập phương, bát diện đều, hình 12 mặt đều, hình 20 mặt đều từ khoá học PRO X TOÁN 2018 tại Vted, các em tham khảo bài giảng và bài tập đi kèm tại link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

1. Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a,$

Ta có $S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $h=AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Do đó $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

2. Hình lập phương cạnh $a$.

Khối lập phương có thể tích $V=a^3$.

3. Khối bát diện đều $ABCDEF$ cạnh $a$, ta có 

${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $EF=2EO=2\sqrt{B{{E}^{2}}-B{{O}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Do đó $V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.EF=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

4. Khối 12 mặt đều cạnh $a$ 

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh $A$ là $ABEFC,ACGHD,ABJID.$

Khi đó $A.BCD$ là chóp tam giác đều và $OA$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ tại tâm ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Theo định lí hàm số côsin ta có

\[BC=CD=BD=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\cos \left( \dfrac{3\pi }{5} \right)}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a.\]

Do đó $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}a \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a.$

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB,$ ta có hai tam giác vuông $AHB\backsim AMO,$ do đó $\frac{AO}{AB}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow R=AO=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}=\frac{{{a}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}.$

Ta có thể tích khối đa diện 12 mặt đều bằng tổng thể tích của 12 khối chóp ngũ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}.$

Từ đó dễ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}(15+7\sqrt{5})}{4}.$

*Chú ý. Có thể tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đã cho (cũng chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCD$) bằng cách áp dụng công thức \[R=OA=\frac{A{{B}^{2}}}{2\sqrt{A{{B}^{2}}-R_{BCD}^{2}}}.\]

5. Khối đa diện đều 20 mặt đều cạnh $a,$ bằng cách thực hiện tương tự như khối đa diện 12 mặt đều ta có công thức xác định thể tích là $V=\dfrac{5(3+\sqrt{5}){{a}^{3}}}{12}.$

*Chú ý. Khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều chỉ để tham khảo; các em không nên sa đà vào các bài toán loại này.

*Khối 12 mặt đều hoặc 20 mặt đều việc xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hoặc thể tích các em chỉ tham khảo, không nên quan tâm đến các câu hỏi loại này trong đề thi vì nó không phù hợp. 

>>Xem thêm bài viết tổng hợp đầy đủ tất cả các vấn đề của 5 khối đa diện đều tại đây: https://vted.vn/tin-tuc/tong-hop-kien-thuc-can-nho-ve-5-khoi-da-dien-deu-khoi-tu-dien-deu-khoi-lap-phuong-khoi-bat-dien-deu-khoi-12-mat-deu-khoi-20-mat-deu-4476.html

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!

CHƯƠNG TRÌNH KHUYẾN MẠI ĐỒNG GIÁ

PRO X CHỈ 699.000 VNĐ

PRO Y - PRO Z - PRO O CHỈ 299.000 VNĐ

ƯU ĐÃI TỪ 30 -08 - 2017 ĐẾN HẾT 05 - 09 - 2017

Nhân dịp chào đón quốc khánh và năm học mới 2017 - 2018, Vted.vn khuyến mại lớn các khoá học môn Toán dành cho học sinh từ 2k2 trở đi gồm các khoá học như sau:

# KHOÁ HỌC HỌC PHÍ GỐC HỌC PHÍ ƯU ĐÃI
1 PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018 TOÁN 1.200.000 VNĐ 699.000 VNĐ
2 PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2 600.000 VNĐ 299.000 VNĐ
3 PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1 600.000 VNĐ 299.000 VNĐ
4 PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 600.000 VNĐ 299.000 VNĐ

CHỈ 699K SỞ HỮU KHOÁ PRO X TOÁN 2018 TẠI VTED

Pro X - Giải pháp cho vấn đề hàm số

ÁP DỤNG ĐẾN HẾT NGÀY 05 - 09 - 2017

Hãy nhanh tay liên hệ với các anh chị CTV_Vted tại đây để nhận được ưu đãi học trọn bộ kiến thức thi THPT Quốc gia 2018 chỉ với mức học phí 699,000 vnđ cho khoá PRO X (Luyện thi và Luyện đề Toán 2018)

 

PRO X TOÁN 2018 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018

• Dành cho thí sinh với mục tiêu đạt ít nhất 9,0 điểm Toán 2018

• Học toàn bộ 12 cơ bản và nâng cao đã giảm tải

• Ôn tập kiến thức 11 có trong đề thi Toán 2018

• Khoá học đi kèm Khoá Luyện đề Toán 2018

 

Học phí gốc: 1,200,000đ

Học phí ưu đãi: 699,000đ + Tặng mã giảm giá 50,000đ chỉ còn 649,000đ.

>>Đăng kí ngay: https://goo.gl/7vS2mv

 

>>Đăng kí tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html


PRO X bao gồm:

• Khoá luyện thi 2018

• Khoá luyện đề 2018

Tham gia đăng kí PRO X bạn sẽ được:

• Được học toàn bộ kiến thức 12 từ cơ bản đến nâng cao, bao quát mọi dạng bài, rèn luyện ngân hàng đề thi phong phú và chất.

• Được ôn tập lại toàn bộ 11 có trong chương trình thi 2018, dự kiến bộ công bố cấu trúc đề thi vào khoảng tháng 10 - 11.

• Được rèn luyện kĩ năng làm đề với Khoá luyện đề 2018 chất. 

Ngoài ra:

• Được tam gia thi thử miễn phí hàng tuần tại group hs vted và website vted tại đây: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/thi-thu-mon-toan-hang-tuan-tai-group-hs-vtedvn-kh078989756.html

• Được trợ giúp bởi cộng đồng học sinh giỏi, Mod và giáo viên hàng đầu tại: https://www.facebook.com/groups/vted.vn/

(Pro X tại Vted có gì cho teen 2k?)

PRO X GIẢM CÒN 699.000 VNĐ SO VỚI HỌC PHÍ GỐC 1.200.000 VNĐ

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

•Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi

•Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá

•Tài liệu hỗ trợ & bài tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều

•Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại Hà Nội

•Học phí quá rẻ so với những gì các bạn nhận được & liên tục cập nhật các nội dung mới hoàn toàn miễn phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại

Có thể Bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép (đối với những video chúng tôi dạy trong các khóa trước đây) và hành vi lừa đảo Bạn đối với những video Tôi đã để công khai trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy từ chối và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng (Facebook, thông tin cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho chúng tôi để có biện pháp xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí mật cho Bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành.

Nhận xét của học viên về các khoá học tại Vted xem tại link: https://www.facebook.com/media/set/?set=a.1369920146414690.1073741842.100001901544977&type=1&l=db28765616

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!


Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập